Vật Lý Đại Cương — Chương 1: Động học chất điểm

Tổng quan

Mục tiêu chương: Hiểu cách mô tả chuyển động của chất điểm bằng toán học — tọa độ, vectơ, đạo hàm, tích phân; nắm các công thức chuẩn và cách áp dụng.

1. Vectơ vị trí & Độ dời

Vectơ vị trí: \(\vec r(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}\)

Độ dời giữa t₁ và t₂: \(\Delta\vec r=\vec r(t_2)-\vec r(t_1)\)

Quãng đường: \(s=\int_{t_1}^{t_2} \lVert \dot{\vec r}(t)\rVert\,dt = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt\)

2. Vận tốc

Vận tốc tức thời: \(\vec v=\dfrac{d\vec r}{dt}\). Tốc độ: \(v=\lVert\vec v\rVert\).

3. Gia tốc

Gia tốc tức thời: \(\vec a=\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{d^2\vec r}{dt^2}\).

Phân rã: \(\vec a = a_t\,\hat t + a_n\,\hat n\) với \(a_t=\dfrac{dv}{dt}\) và \(a_n=\dfrac{v^2}{\rho}\).

4. Hệ tọa độ

Hệ Đề-các

\(\vec v=(\dot x,\dot y,\dot z),\qquad \vec a=(\ddot x,\ddot y,\ddot z)\)

Hệ cực (r, θ)

\(\vec r = r\,\hat e_r\)

\(\vec v=\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta\)

\(\vec a=(\ddot r - r\dot\theta^2)\,\hat e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat e_\theta\)

5. Các loại chuyển động đặc biệt

• Thẳng đều: \(x=x_0+vt\).
• Thẳng biến đổi đều: \(v=v_0+at\), \(x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2\), \(v^2=v_0^2+2a(x-x_0)\).
• Rơi tự do: \(a=-g\), với \(g\approx 9.81\,\mathrm{m/s^2}\).
• Ném xiên: \(T=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g},\; H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g},\; R=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}\).
• Tròn đều/biến đổi: \(a_n=v^2/R,\; a_t=\alpha R\).

8. Bộ bài tập tự luyện (12 bài, có đáp án chi tiết)

Nhóm bài tập được chia 3 mức: Cơ bản (1–5), Trung cấp (6–9), Nâng cao (10–12). Làm theo từng bước hướng dẫn trong phần "Phương pháp giải".

1. Bài 1 (Cơ bản) — Thẳng biến đổi đều

   Đề: Một ôtô khởi động từ nghỉ và có gia tốc không đổi \(a=2\,\mathrm{m/s^2}\). Tính vận tốc và quãng đường sau \(t=8\,\mathrm{s}\).

   Giải (bước):

   1. Vận tốc: dùng \(v=v_0+at\). Với \(v_0=0\) → \(v=0+2\cdot8=16\,\mathrm{m/s}\).
   2. Quãng đường: \(s=\tfrac12at^2=0.5\cdot2\cdot8^2=64\,\mathrm{m}\).
2. Bài 2 (Cơ bản) — Rơi tự do

   Đề: Thả một vật không vận tốc ban đầu từ độ cao \(h=45\,\mathrm{m}\). Bỏ qua cản khí. Tính thời gian rơi và vận tốc khi chạm đất.

   1. Thời gian: \(h=\tfrac12 g t^2\) ⇒ \(t=\sqrt{2h/g}=\sqrt{90/9.81}\approx3.03\,\mathrm{s}\).
   2. Vận tốc: \(v=g t\approx9.81\cdot3.03\approx29.7\,\mathrm{m/s}\) hướng xuống.
3. Bài 3 (Cơ bản) — Ném ngang

   Đề: Từ độ cao \(y_0=20\,\mathrm{m}\) ném ngang với \(v_x=12\,\mathrm{m/s}\). Tính thời gian rơi, tầm xa, và vận tốc khi chạm đất.

   1. Thời gian: \(t=\sqrt{2y_0/g}=\sqrt{40/9.81}\approx2.02\,\mathrm{s}\).
   2. Tầm xa: \(R=v_x t\approx12\cdot2.02\approx24.2\,\mathrm{m}\).
   3. Vận tốc: thành phần ngang \(v_x=12\), dọc \(v_y=gt\approx19.8\) ⇒ \(v=\sqrt{12^2+19.8^2}\approx23.0\,\mathrm{m/s}\).
4. Bài 4 (Cơ bản) — Ném xiên

   Đề: Ném một vật với \(v_0=15\,\mathrm{m/s}\) góc \(\alpha=30^\circ\) (từ mặt đất). Tính thời gian bay, độ cao cực đại và tầm xa.

   1. \(T=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}=\dfrac{2\cdot15\cdot0.5}{9.81}\approx1.53\,\mathrm{s}\).
   2. \(H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=\dfrac{225\cdot(0.5)^2}{19.62}\approx2.87\,\mathrm{m}\).
   3. \(R=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}=\dfrac{225\sin60^\circ}{9.81}\approx19.8\,\mathrm{m}\).
5. Bài 5 (Cơ bản) — Tròn đều

   Đề: Một vật chuyển động tròn đều bán kính \(R=0.2\,\mathrm{m}\) với tần số \(f=2\,\mathrm{Hz}\). Tính vận tốc dài và gia tốc hướng tâm.

   1. \(\omega=2\pi f=4\pi\,\mathrm{rad/s}\approx12.566\,\mathrm{rad/s}\).
   2. Vận tốc dài: \(v=\omega R\approx12.566\cdot0.2\approx2.513\,\mathrm{m/s}\).
   3. Gia tốc hướng tâm: \(a_n=\omega^2 R\approx(12.566)^2\cdot0.2\approx31.6\,\mathrm{m/s^2}\).
6. Bài 6 (Trung cấp) — Đường cong tham số

   Đề: Một chất điểm có quỹ đạo tham số \(x=t^2,\; y=3t-t^3\). Tìm \(\vec v,\;\vec a\) tại \(t=1\) và tính thành phần pháp tuyến \(a_n\) và tiếp tuyến \(a_t\).

   1. \(\dot x=2t\Rightarrow \dot x(1)=2;\quad \dot y=3-3t^2\Rightarrow \dot y(1)=0\) ⇒ \(\vec v=(2,0)\), \(v=2\).
   2. \(\ddot x=2;\quad \ddot y=-6t\Rightarrow \ddot y(1)=-6\) ⇒ \(\vec a=(2,-6)\), \(\lVert\vec a\rVert=\sqrt{40}\approx6.324\).
   3. \(a_t=\dfrac{\vec a\cdot\vec v}{v}=\dfrac{(2,-6)\cdot(2,0)}{2}=2\). \(a_n=\sqrt{a^2-a_t^2}=\sqrt{40-4}=6\).
7. Bài 7 (Trung cấp) — Hệ cực

   Đề: Cho \(r=2t,\;\theta=t^2\). Tính \(\vec v,\;\vec a\) tại \(t=1\) (theo cơ sở cực).

   1. \(\dot r=2,\;\dot\theta=2t\Rightarrow \dot\theta(1)=2\).
   2. \(\vec v=\dot r\,\hat e_r + r\dot\theta\,\hat e_\theta = 2\,\hat e_r + 2\cdot2\,\hat e_\theta = 2\,\hat e_r + 4\,\hat e_\theta\).
   3. \(\ddot r=0,\;\ddot\theta=2\) ⇒ \(\vec a=(0 - 2\cdot2^2)\,\hat e_r + (2\cdot2 + 2\cdot2\cdot2)\,\hat e_\theta = -8\,\hat e_r + 12\,\hat e_\theta\).
8. Bài 8 (Trung cấp) — Chuyển động tương đối

   Đề: Một thuyền di chuyển so với nước với vận tốc 5 m/s vuông góc bờ. Dòng chảy có vận tốc 2 m/s. Sông rộng 120 m. Tính thời gian sang sông, khoảng trôi dạt và vận tốc thực tế đối với bờ.

   1. Thời gian: \(t=120/5=24\,\mathrm{s}\).
   2. Trôi dạt: \(\Delta x = 2\cdot24 = 48\,\mathrm{m}\).
   3. Vận tốc đối với bờ: \(\sqrt{5^2+2^2}=\sqrt{29}\approx5.385\,\mathrm{m/s}\).
9. Bài 9 (Trung cấp) — Tích phân a(t)

   Đề: Gia tốc theo thời gian \(a(t)=6t\) (m/s²), và tại \(t=0\) có \(v(0)=2\,\mathrm{m/s},\; x(0)=1\,\mathrm{m}\). Tìm \(v(t)\) và \(x(t)\).

   1. \(v(t)=v(0)+\int_0^t a(\tau)d\tau = 2 + \int_0^t 6\tau d\tau = 2 + 3t^2\).
   2. \(x(t)=x(0)+\int_0^t v(\tau)d\tau = 1 + \int_0^t (2+3\tau^2)d\tau = 1 + 2t + t^3\).
10. Bài 10 (Nâng cao) — Tối ưu hóa ném

    Đề: Cho tốc độ ban đầu cố định \(v_0\). Tìm góc \(\alpha\) tối ưu để đạt tầm xa cực đại khi ném từ cùng một cao độ. Giải thích vì sao.

    1. Tầm xa: \(R(\alpha)=\dfrac{v_0^2\sin2\alpha}{g}\). Để R lớn nhất cần \(\sin2\alpha\) lớn nhất → \(2\alpha=90^\circ\) ⇒ \(\alpha=45^\circ\).
    2. Giải thích: phân phối thành phần ngang và dọc tối ưu khi bằng nhau.
11. Bài 11 (Nâng cao) — Bán kính cong & a_n

    Đề: Một hạt đi trên quỹ đạo \(\vec r(t)=(R\cos\omega t, R\sin\omega t)\). Chứng minh bán kính cong \(\rho=R\) và \(a_n=v^2/R\).

    1. Vận tốc: \(\vec v = (-R\omega\sin\omega t, R\omega\cos\omega t)\) ⇒ \(v=R\omega\).
    2. Gia tốc: \(\vec a = (-R\omega^2\cos\omega t, -R\omega^2\sin\omega t) = -R\omega^2\hat r\) hướng về tâm.
    3. Do đó \(a_n=R\omega^2=(R\omega)^2/R=v^2/R\) và bán kính cong bằng R.
12. Bài 12 (Nâng cao) — Bài thực hành đồ thị

    Đề: Cho đồ thị vận tốc theo thời gian: v(t) là tam giác với đỉnh tại \(t=2\,\mathrm{s}\) cao 6 m/s (từ t=0 đến t=4, đường thẳng lên và xuống). Tính quãng đường đi trong 0≤t≤4, và vận tốc tại t=3.

    1. Quãng đường = diện tích hình tam giác = \(\tfrac12\cdot4\cdot6=12\,\mathrm{m}\).
    2. Đoạn 2→4: vận tốc giảm tuyến tính từ 6 → 0 trong 2 s ⇒ slope = −3 m/s². Tại t=3: v=6+(−3)·1=3 m/s.

Gợi ý sử dụng: Hãy làm từng bài theo các "Bước giải" đã nêu; với bài tính toán, luôn kiểm tra đơn vị sau cùng và ghi rõ hướng (nếu có thành phần vectơ).

7. Check‑list & mẹo

• Chọn HQC & quy ước dấu trước khi giải.
• Kiểm tra đơn vị & thứ nguyên.
• Phân biệt quãng đường & độ dời.
• Sử dụng đồ thị (x–t, v–t, a–t) để kiểm tra trực quan.